Estudio numérico de órbitas en la métrica de Schwarzschild

Abstract

En el presente trabajo resolveremos numéricamente las ecuaciones de movimiento de una partícula que se mueve en el espaciotiempo de Schwarzschild. El movimiento de los cuerpos celestes siempre ha causado fascinación al hombre. Su descripción es uno de los resultados más importantes que tiene la Mecánica Clásica, pero se queda incompleta al tratar de describir el movimiento a velocidades cercanas a la de la luz y en las regiones más cercanas a los objetos masivos. A principios del siglo XX nació la Relatividad Especial resolviendo el primero de estos problemas, al tomar como pilares de la Relatividad de Galileo y que la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador. Con esto nos dio una nueva concepción y entendimiento del espacio y el tiempo al unirlos en un solo ente, el espaciotiempo. Tiempo después llegó la relatividad General uniendo ahora a la Relatividad Especial y a la gravedad., para lograr una descripción más precisa de esta interacción. La consecuencia de esto fue que ahora la gravedad no es una fuerza, sino que se debe a la curvatura del espaciotiempo provocada por la presencia de masa en una región determinada. Con esto llegó la descripción relativista de como es el espaciotiempo en el exterior de un cuerpo como el Sol y nos ayudó a resolver problemas que habían quedado pendientes en la Mecánica Clásica como el avance en el perihelio de la órbita de Mercurio. Presentamos el contenido de este trabajo de la siguiente manera: En el capítulo uno presentamos un breve repaso de los conceptos de Mecánica Clásica que tienen que ver con el movimiento de los objetos alrededor de objetos masivos, desde el punto de vista de la formulación lagrangiana. También hablaremos sobre conceptos de la Relatividad Especial, así como la descripción del contenido energético en un región del espaciotiempo. En el capítulo dos, encontraremos la relación entre la curvatura del espaciotiempo y la gravedad. Primero estudiaremos conceptos sobre geometría de espacios curvos, después describiremos como es la Física en espaciotiempos curvos con ayuda de la RElatividad General. En el capítulo tres, después de haber encontrado la relación entre la curvatura del espaciotiempo y el contenido material de una región, resolveremos las ecuaciones de Einstein para encontrar la métrica que describe el espacioteimpo en el exterior de un objeto esférico que no rota ni tiene carga. También encontraremos las ecuaciones de movimiento para una partícula que se mueve en este espaciotiempo. Finalmente en el capítulo cuatro resolveremos numéricamente las ecuaciones encontradas en el capítulo tres y presentaremos las soluciones para distintas condiciones iniciales.