Un Estudio de la cadena lineal de osciladores armónicos

Abstract

La cadena lineal de osciladores armónicos es un sistema mecánico cuyo uso como modelo en la descripción de las propiedades de diversos sistemas físicos ha dado resultados muy importantes para el desarrollo tanto de la física teórica como de las matemáticas puras. Newton fue el primero en emplear una cadena lineal para derivar una formula para la velocidad del sonido (1686); la importancia de su modelo fue que una estructura continua, como una cuerda vibrante, constituía un problema aun no resuelto en ese tiempo ya que no se conocían las ecuaciones diferenciales parciales. Trabajos posteriores llevaron a John Bernoulli (1727) a establecer la existencia de los modos normales en que un sistema puede oscilar, y a su hijo Daniel Bernoulli (1753) a formular el Principio de Superposición. Fue este el inicio de la formulación de la Mecánica Teórica para sistemas de muchas partículas. Ellos dieron un tratamiento completo a la cadena lineal de masas puntuales. Aunque las leyes que rigen el movimiento de las cuerdas vibrantes se conocían empíricamente, su tratamiento teórico se inicio hasta el año de 1713 con trabajos de Taylor, y el problema quedo resuelto con los trabajos de Euler (1748) quien ya manejada las ecuaciones diferenciales parciales. Lagrange mostro en 1759 que la cuerda continua vibrante representa un caso limite de una cadena lineal. El hecho sobresaliente es que los trabajos realizados en esta dirección llevaron a la formulación del problema de valores propios, se estableció el Teorema de Fourier, nacieron las ecuaciones diferenciales parciales, se estudió la propagación de ondas, se resolvieron problemas de Ingeniería Eléctrica, y el modelo de la cadena lineal llego aun mas lejos, siendo hasta nuestros días base en la teoría atómica de sólidos y en la estructura cristalina, e incluso en el estudio de la interacción de partículas con un campo.