Sistemas dinámicos en superficies cociente

Abstract

Este trabajo tiene dos objetivos principales. El primero de ellos consiste en presentar una introducción a la Teoría de Sistemas Dinámicos sobre superficies cociente, y el segundo en establecer y demostrar el Teorema de Rectificación Global en el plano y en superficies cociente tales como el toro y la botella de Klein. Un sistema dinámico en el plano se puede definir como un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias; para definir un sistema dinámico en una superficie necesitamos hacer uso de nociones como campo vectorial y flujo sobre superficies. En general, el flujo en una superficie se puede definir como solución a un sistema de ecuaciones diferenciales sólo localmente (en una vecindad de un punto). La razón de esto es que una superficie no tiene coordenadas globales en general. Así, para estudiar un sistema dinámico en superficies necesitamos usar las herramientas del cálculo en variedades. Existe una clase especial de superficies llamadas superficies cociente, en las cuales no es necesario el cálculo en variedades. El estudio de sistemas dinámicos en tales superficies se puede reducir a sistemas dinámicos en el piano con ciertas condiciones específicas. Esta línea de estudio es la que seguiremos a lo largo del texto.