Funciones maximales y operadores promedio

Abstract

El objetivo principal de esta tesis es obtener los clásicos resultados de acotación de la función maximal y el operador promedio de Hardy-Littlewood en los espacios Lp(Rn) y los espacios de Morrey. Para ello, haremos uso de algunos teoremas de cubrimiento, los cuales nos proporcionarán una familia a lo sumo numerable de cubos o de bolas que logren "cubrir" un conjunto relativamente arbitrario del espacio euclideano. Estas familias pueden presentar alguna restricción que guarda cierta relación con el problema que se desea resolver. Además, veremos un resultado fundamental del análisis armónico, a saber, el teorema de diferenciación de Lebesgue. La notación que emplearemos en esta tesis será estándar. Si B es una bola abierta en Rn con centro en x, radio r y a es cualquier número positivo, el conjunto aB denotará la bola abierta con centro en x y radio &; el radio de una bola B será denotado por radB. Si A es un subconjunto Lebesgue medible de Rn, /A/ denotará la medida de Lebesgue de A. Con frecuencia utilizaremos una letra C para denotar una constante que podría estar variando renglón tras renglón. En el capítulo uno presentaremos los teoremas de cubrimiento de Vitali y de Besicovitch, los cuales son útiles para obtener resultados de diferenciabilidad de funciones. En el capítulo dos con el propósito de presentar algunas aplicaciones de los teoremas de cubrimiento, introducimos la función maximal de Hardy-Littlewood. Después, con la finalidad de mostrar que esta función es continua en el espacio Lp(Rn), presentamos el teorema de interpolación de Marcinkiewicz y concluimos probando la continuidad de una generalización de la función maximal. En el capítulo tres estudiaremos los espacios de Morrey Lq,x(Rn), los cuales constituyen una generalización de los espacios Lq(Rn), mostraremos que estos espacios son de Banach y probaremos que la función maximal de Hardy-Littlewood es continua en dichos espacios. En el capítulo cuatro estudiaremos el operador promedio de Hardy-Littlewood, mostraremos que bajo ciertas condiciones en el peso tendremos que este operador es acotado en Lp(Rn), 1 <p< & y en Lq,x(Rn), 1 <q< & y -1/q- <x< O. Además, determinaremos la norma de este operador en dichos espacios. En la última parte de esta tesis presentaremos algunas conclusiones personales y un apéndice en el que incluimos la demostración de la desigualdad integral de Minkowski.