Clasificación de superficies hiperbólicas

Abstract

El objetivo de esta tesis es presentar una demostración del teorema en superficies hiperbólicas. Más aun, demostraremos que el grupo r es isomorfo al grupo fundamental del cociente H2/r. En el capítulo uno definiremos conceptos que utilizaremos a lo largo del trabajo. Primero definiremos conceptos de teoría de grupos para después presentar acciones de grupos. Aquí daremos la definición de acción propiamente discontinua. Posteriormente, daremos conceptos de carácter topológico. Durante el capítulo dos de grupo fundamental y espacios recubridores. Empezaremos hablando de homotopías y trayectorias. Después definiremos un producto sobre las trayectorias y gracias a este podremos considerar un grupo asociado a un espacio que nos dará información sobre éste mediante clases de homotopías, este grupo es el grupo fundamental. Enseguida presentaremos las funciones recubridoras y cómo se relacionan con el concepto de levantamiento de trayectorias, en este capítulo también se demostrará el resultado que permite calcular el grupo fundamental de superficies de la forma H2/r. En el capítulo tres iniciamos con parte de los objetivos de este trabajo. En la primera sección definiremos al plano hiperbólico por medio de axiomas y presentaremos algunos modelos de él. Después nos centraremos en el modelo del semiplano y estudiaremos en él la distancia hiperbólica, lo cual nos permitirá mostrar que H2 es un espacio métrico. Luego veremos transformaciones de Móbius y probaremos algunas de sus propiedades. Esto nos llevará a definir isometrías hiperbólicas. En el último capítulo presentaremos nuestro teorema principal. Comenzaremos definiendo una superficie hiperbólica. Después estudiaremos el concepto de longitud de una curva en una superficie y esto nos permitirá hablar del concepto de geodésica, y a su vez nos permitirá dar la noción de completez por medio de geodésicas.