Transformaciones cubrientes y su aplicación al cálculo del grupo fundamental de la circunferencia

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es presentar de manera accesible el cálculo del grupo fundamental de la circunferencia usando la teoría de espacios cubrientes y transformaciones cubrientes. Comenzaremos por definir algunos conceptos topológicos corno trayectorias, homotopía y hornotopía relativa lo cual nos permitirá definir, para cada espacio topológico con punto base xo X. un grupo llamado el grupo fundamental de X que denotamos por (X,xo). Resulta ser que este grupo es un invariante topolólogico, es decir, si dos espacios son homeomorfos sus grupos fundamentales son isomorfos. Esto es consecuencia de que una función continúa entre dos espacios topológicos induce un homomorfismo de grupo entre los grupos fundamentales asociados, donde además dicho homomorfismo cumple una propiedad llamada propiedad de funtorialidad. Introducimos el concepto de espacio cubriente, se enuncian y demuestran el teorema de levantamiento de trayectorias y el teorema de levantamiento homotopía, definimos una acción del grupo fundamental del espacio X sobre la fibra de un cubriente X y demostramos que dicha acción es transitiva. Además se demuestra que todas las fibras de un espacio cubriente tienen la misma cardinalidad. Dado que cada fibra es discreta, tenemos que cualquier par de fibras son homeomorfas.