Homotopía en complejos simpliciales y espacios cubrientes

Abstract

Uno de los principales problemas en topología es el de la clasificación de espacios topológicos, esto es, dados dos espacios topológicos, poder saber si éstos son homeomorfos o no. Para ver que dos espacios topológicos son homeomorfos basta con exponer un horneomorfismo entre dichos espacios, lo cual puede resultar ser una tarea para nada sencilla. Por el contrario, para demostrar que dos espacios topológicos no son homeomorfos, hay que ver que no existe ningún homeornorfismo entre dichos espacios, lo cual puede resultar imposible de realizar. Para ver que dos espacios topológicos no son homeomorfos, utilizamos el hecho de que diversas propiedades topológicas como lo son la conexidad, compacidad, separabilidad, etcétera, se preservan bajo homeomorfismos, con lo cual si un espacio topológico digamos tiene alguna de estas propiedades, y un segundo espacio no lo hace, entonces no pueden ser homeomorfos. Sin embargo, esta manera de comparar espacios topológicos no es ni suficiente ni precisa, pues existen espacios que comparten propiedades topológicas y sin embargo no son homeomorfos. Es por ello que en topología algebraica existen también los llamados invariantes topológicos, que nos permiten distinguir de cierta manera algunos espacios topológicos de otros. En esta ocasión nos centraremos en los grupos de homotopía de un espacio topológico, en particular en el grupo fundamental.