Integrabilidad y simetrías de sistemas hamiltonianos

Abstract

En este trabajo se demuestra que el álgebra de integrales primeras del oscilador armónico con dos grados de libertad es finitamente generado y además se exhibe explícitamente un conjunto de generadores. En el primer capítulo se revisa material preliminar básico para este trabajo, donde se aclara el lenguaje a utilizar y aparecen algunas propiedades importantes con las que se trabaja en capítulos posteriores. El segundo capítulo trata de los sistemas Flamiltonianos en general, así corno de sus propiedades. También estudiarnos el conjunto de integrales primeras, en donde se encuentra que posee estructura de álgebra y de álgebra de Lie, es decir, un álgebra de Poisson. El tercer capítulo trata sobre un teorema de gran importancia, el Teorema de Liouville-Arnold, el cual brinda una descripción de los sistemas Liouville integrables, es decir, aquellos que tienen un conjunto finito de integrales primeras que cumple con ciertas propiedades. También obtenemos información de otro tipo de sistemas, a saber, los superintegrables, donde las condiciones sobre el conjunto de integrales primeras exigen menos. El capítulo cuarto contiene el material suficiente para abordar el Teorema de Schwarzt, el cual da condiciones para que un conjunto de funciones invariantes bajo la acción de un grupo sea finitamente generado. Para el quinto y último capítulo, mostramos cómo se ajustan los resultados previos al oscilador armónico en dos grados de libertad para demostrar que su álgebra de integrales primeras es finitamente generado. Además, se hace el cálculo de una base de integrales primeras generadoras.