Conceptos de integración analítica y aplicaciones

Abstract

Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se realiza mediante las herramientas del cálculo. Por esa razón los cursos de Cálculo aparecen en los planes de estudio de todas las carreras científicas y técnicas. El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, la integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El proceso de integración o antiderivación es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de estos últimos y los aportes de Newton generaron el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Este trabajo de tesis se divide en cuatro capítulos, en los que se describen conceptos y métodos de integración, propiedades y algunas aplicaciones. En el primer capítulo se tratan nociones históricas de la evolución de la integración, se enfoca principalmente en ofrecer al lector una breve reseña de los matemáticos destacados que sustentaron el desarrollo de la integración y sus resultados más importantes. En el segundo capítulo se define el concepto de integración analítica clásica, se describen métodos de integración clásicos y se presenta el desarrollo de la teoría según el enfoque de distintos matemáticos cuyas integrales llevan sus nombres, como: Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann y Darboux. En el tercer capítulo se definen algunos métodos de aproximación analítica de integrales, técnicas disponibles para ciertas clases de integrales así como la determinación del método de aproximación más apropiado, se definen integrales de Laplace, Fourier, Lema de Watson y se muestran algunas aplicaciones. En el cuarto y último capítulo se definen algunas de las generalizaciones de las integrales mencionadas en el capítulo dos, como lo son la integral de Riemann-Stieltjes, integral de Lebesgue e integral de Lebesgue-Stieltjes, presentando su desarrollo y propiedades, así como algunas relaciones entre ellas.