Grupos de homotopía y aplicaciones

Abstract

En matemáticas, uno de los problemas principales consiste en clasificar los objetos de estudio. Para ello, generalmente se define una noción de equivalencia (dependiendo de las propiedades que nos interesen) entre dichos objetos y un problema fundamental consiste en, dados dos objetos, determinar si éstos son equivalentes o no. Por ejemplo, en geometría plana. si las propiedades que nos interesan son el tamaño y la forma, la noción de equivalencia estaría dada por el concepto de congruencia, así dos objetos (polígonos por ejemplo) serán equivalentes si y sólo si éstos son congruentes, es decir, si tienen la misma forma y tamaño. Si lo que nos interesa es únicamente la, forma, la noción de equivalencia será la de semejanza y de esta manera, dos objetos serán equivalentes, si son proporcionales, no importando así su tamaño. En el caso de la topología, la noción de equivalencia es la de homeomorfismo: dos espacios topológicos son homeomorfos (o equivalentes) si existe entre ellos una aplicación invertible (homeomorfismo), donde ella y su inversa sean continuas. Intuitivamente, esto quiere decir que podemos "deformar continuamente" uno de los espacios hasta obtener el otro. El problema de determinar si dos espacios son homeomorfos o no, utilizando directamente la definición de homeomorfismo, puede ser muy difícil. Para probar que son homeomorfos, tenemos que dar un homeomorfismo entre ellos, lo cual puede ser nada fácil. Por otro lado, para probar que no lo son tenemos que demostrar que no existe ningún homeomorfismo entre ellos, lo cuál puede ser aún más difícil. Otra forma más fácil de atacar el problema, consiste en buscar propiedades de los espacios topológicos que se preserven bajo homeomorfismo, de esta manera. Si uno de los espacios posee dicha propiedad y otro no, entonces no pueden ser homeomorfos. Ejemplos de dichas propiedades son la conexidad y la compacidad.