Caracterización del conjunto de discontinuidades de funciones reales

Abstract

Uno de los temas centrales del análisis real es la continuidad de funciones. Se puede decir mucho sobre este tema, y en este trabajo de tesis se estudian principalmente propiedades de los conjuntos de continuidad y discontinuidad tanto de funciones reales en general como de funciones que son límite puntual de una sucesión de funciones continuas. Primeramente, en el capítulo dos se dan algunas definiciones y resultados básicos sobre numerabilidad de conjuntos y topología de R, los cuales serán las bases para estudiar las propiedades de numerabilidad y topológicas de los conjuntos de puntos de continuidad y discontinuidad de una función. En el capítulo tres se hace una clasificación de los tipos de discontinuidad de una función, se define la oscilación de una función y se muestra su relación con la continuidad. Además, se hace un análisis de la numerabilidad de ciertos subconjuntos del conjunto de puntos de discontinuidad de una función, los cuales se definen a través de la clasificación de discontinuidades hecha. También se presentan algunas propiedades topológicas del conjunto de puntos de discontinuidad de una función. Finalmente, en el capítulo cuatro se trata el tema de límites de sucesiones de funciones y se analiza la continuidad de la función límite y de las funciones de la sucesión. Este análisis nos llevará a los conceptos de convergencia quasi-uniforme y funciones Baire I. Los principales resultados que involucran estos conceptos son dar una condición necesaria y suficiente para que la función límite de una sucesión de funciones continuas sea también continua y describir el conjunto de puntos de discontinuidad de una función que es límite puntual de una sucesión de funciones continuas.