Clasificación de los espacios euclidianos en dimensiones 2 y 3

Abstract

El problema que se aborda en este trabajo es clasificación de los espacios localmente euclidianos, es decir, de aquellos espacios que poseen una geometría que es en una vecindad de cada uno de sus puntos igual a la geometría euclidiana. Esta clasificación la presentamos para los espacios de dimensión dos y tres. En este trabajo, con métodos y técnicas elementales del álgebra lineal y topología, mostramos que todo espacio localmente euclidiano se obtiene a partir de la acción de un subgrupo de isometrías euclidianas uniformemente discontinuos sobre el plano euclidiano o sobre el espacio respectivamente. Mostramos que globalmente los espacios euclidianos se representan como el espacio cociente formado por las órbitas de la acción del grupo. En este sentido la clasificación de los espacios euclidianos se reduce a la clasificación de los sub-grupos uniformemente discontinuos de isometrías euclidianas en el plano o en el espacio. En cuanto a la originalidad de este trabajo podemos decir que consiste en el hecho de presentar en forma completa y rigurosa los distintos conceptos y resultados sobre la clasificación de los espacios localmente euclidianos. Los materiales que en español se tiene sobre el problema de clasificación que nos ocupa generalmente se reducen al caso bi-dimensional. Aquí nosotros presentamos los resultados en su mayor generalidad y en particular mostramos la lista completa de los espacios en tres dimensiones que son localmente euclidianos.